Tema |
Subtema |
Tema 1. Los cuerpos de los números reales y de los números complejos
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Conjuntos numéricos. Los números reales. Intervalos de R. Valor absoluto. La recta real ampliada.
El cuerpo de los números complejos. Representación de los números complejos. Módulo y argumento. Fórmula de Euler. Operaciones con números complejos en forma polar: potencias (fórmula de De Moivre), raíces, exponenciales, logaritmos.
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Tema 2. Espacios vectoriales |
El espacio vectorial Rn. Subespacios vectoriales. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Espacios vectoriales de dimensión finita. Base y dimensión. Rango. |
Tema 3. Aplicaciones lineales
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Aplicaciones lineales. Propiedades. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Caracterización de las aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Rango de una aplicación lineal. Matriz asociada a una aplicación lineal. |
Tema 4. Matrices
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Definición y tipos de matrices. Espacio vectorial de las matrices mxn. Producto de matrices. Matriz regular. Rango de una matriz. Cálculo del rango de una matriz y de la matriz inversa por medio de operaciones elementales.
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Tema 5. Determinantes
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Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 y de orden 3. Propiedades. Desarrollo por adjuntos. Cálculo de la matriz inversa. Cálculo del rango de una matriz.
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Tema 6. Sistemas de ecuaciones lineales
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Sistemas de ecuaciones lineales: forma matricial. Sistemas equivalentes. Existencia de soluciones: teorema de Rouché-Frobenius. Sistemas homogéneos. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: resolución mediante los métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan. Resolución de un sistema de Cramer. Resolución de un sistema general usando la regla de Cramer.
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Tema 7. Espacio vectorial euclídeo
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Producto escalar. Norma. Distancia. Ortogonalidad. Producto escalar con respecto a una base. Sistemas ortogonales y ortonormales. Producto vectorial. Producto mixto. Áreas y volúmenes.
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Tema 8. Geometría
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Espacio afín tridimensional. La recta en el espacio afín. Ecuaciones de la recta. El plano en el espacio afín. Ecuaciones del plano. Relaciones de incidencia entre rectas y planos. Ángulos: de dos rectas, de dos planos y de recta y plano. Distancias: de un punto a un plano, de una recta a un plano y de dos rectas que se cruzan.
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Tema 9. Diagonalización de endomorfismos y matrices
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Vectores y valores propios. Subespacios propios. Polinomio característico. Diagonalización: condiciones. Polinomio anulador. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicaciones.
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Tema 10. Convergencia en R.
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Sucesiones convergentes en R. Operaciones con límites. Cálculo de límites: indeterminaciones, regla de Stolz.
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Tema 11. Límite y continuidad de funciones de una variable real
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Límite de una función en un punto. Límite secuencial. Propiedades de los límites. Cálculo de límites. Continuidad de funciones reales. Discontinuidad: tipos. Operaciones con funciones continuas. Teoremas relativos a la continuidad global: imagen continua de un intervalo cerrado, teorema de Bolzano-Weierstrass, teorema de Bolzano: consecuencias. Continuidad de la función inversa y de la función compuesta. |
Tema 12. Cálculo diferencial de una variable
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Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica del concepto de derivada. La diferencial. Función derivada. Derivadas sucesivas. Relación entre la continuidad y la derivabilidad. Cálculo de derivadas: derivada de la función compuesta y de la función inversa. Teoremas relativos a las funciones derivables: teorema de Rolle, consecuencias; teorema del Valor Medio, consecuencias; la regla de L'Hôpital, cálculo de límites indeterminados. Polinomios de Taylor de una función. Teorema de Taylor. Problemas de máximos y mínimos. Estudio de la concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Representación gráfica de funciones.
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Tema 13. Integración de funciones de una variable
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La integral de Riemann: particiones, sumas superiores e inferiores, integral superior e inferior, funciones integrales, la integral como límite de sumas. Propiedades. Teorema del valor medio. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Primitivas. Métodos generales de cálculo de primitivas. Integrales impropias. Aplicaciones geométricas de la integral.
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Tema 14. Informática
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Sistemas operativos: clasificación, componentes, ejemplos. Fundamentos de programación. Organización de archivos. Métodos de ordenación y búsqueda. Concepto y tipos de bases de datos.
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TEMARIO DE PRACTICAS DE LABORATORIO |
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Práctica 1. Introducción a la sintaxis de un programa de cálculo simbólico. |
Comandos básicos de un programa de cálculo simbólico |
Práctica 2. Números Complejos
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Aritmética compleja en forma binómica. Forma polar. Aritmética en forma polar.
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Práctica 3. Espacios vectoriales
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Operaciones con vectores. Independencia lineal de vectores y cálculo de bases. Sistemas de generadores. Rango de un sistema de vectores.
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Práctica 4. Aplicaciones lineales |
Cálculo de la matriz asociada. Cálculo del núcleo, imagen y rango
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Práctica 5. Matrices y determinantes
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Operaciones con matrices. Cálculo del determinante de una matriz cuadrada. Cálculo de la matriz inversa y del rango de una matriz. |
Práctica 6. Sistemas de ecuaciones lineales
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Resolución de sistemas lineales. Regla de Cramer y métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan. Aplicaciones.
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Práctica 7. Espacio vectorial euclídeo y Geometría
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Cálculo del producto escalar, vectorial y mixto. Cálculo de áreas, volúmenes, ángulos y distancias.
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Práctica 8. Diagonalización
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Cálculo de los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada. Diagonalización de matrices. Aplicaciones.
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Práctica 9. Convergencia
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Límite de sucesiones. |
Práctica 10. Funciones
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Cálculo del límite de una función en un punto. Representación gráfica de funciones. Estudio de la continuidad.
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Práctica 11. Derivación.
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Derivación de funciones. Cálculo de las rectas tangente y normal. Problemas de extremos relativos. Desarrollos en serie de Taylor. Estudio local de funciones.
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Práctica 12. Integración
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Cálculo de primitivas. Aplicaciones: cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de arco, etc.
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Tema 13. Informática
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Fundamentos de programación. Elaboración y manejo de bases de datos.
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